Question

设函数f（x）=-

1

8

x2+lnx，x∈[1，e)
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）先求出f^′（x），利用导数与单调性的关系即可得出其单调区间；
（II）利用（I）的结论即可得出函数的最大值，再比较区间端点处的函数值即可得出最小值．

解答：解：（I）由f′(x)=-

1

4

x+

1

x

=

-(x+2)(x-2)

4x

=0，x∈[1，e），解得x=2．
当x∈[1，2）时，f^′（x）＞0；当x∈（2，e）时，f^′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为[1，2]，单调递减区间为[2，e）；
（II）由（I）可知：当x=2时，f（x）取得最大值为-

1

8

×22+ln2=ln2-

1

2

．而f（1）=-

1

8

＜f（e）=-

e2

8

+1．
故其最小值为-

1

8

，因此函数f（x）的值域为[-

1

8

，ln2-

1

2

]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值设解题的关键．