Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1-a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证数列为等比数列，只需证明数列的后一项与前一项的比为常数，根据a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*），令n=n-1，再构造数列{a_n+1-a_n+3}，计算

an+1-an+3

an-an-1+3

，看是否为常数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所证数列{a_n+1-a_n+3}是等比数列，先求出数列{a_n+1-a_n+3}的通项公式，再求出{a_n}的通项公式即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求出的数列{a_n}的通项公式，利用分组法求数列{a_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）∴当n≥2时，a_n=2a_n-1+3n-7
两式相减，得，a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+3，即，a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3）
∴

an+1-an+3

an-an-1+3

=2
∴数列{a_n+1-a_n+3}是公比为2的等比数列
（Ⅱ）∵数列{a_n+1-a_n+3}是公比为2的等比数列，且a₁=-1，a₂=-3
∴a₂-a₁+3=1∴a_n+1-a_n+3=2^n-1，
a_n+1-a_n=2^n-1-3
∴a_n+-a_n-1=2^n-2-3
a_n-1-a_n-2=2^n-3-3
…
a₂-a₁=2⁰-3
∴a_n+1-a₁=

2n-1-1

2

-3n
∴an=

2n-1-1

2

-3n+2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an=

2n-1-1

2

-3n+2
∴T_n．=

20-1

2

-3+2+

21-1

2

-3×2+2+

22-1

2

-3×3+2+…+

2n-1-1

2

-3n+2
=

20+21+…+2n-1-n

2

+2n-3n²=

1

2

(2n-3n2-1)

点评：本题主要考查了构造法求数列的通项公式，以及分组求和，属于数列的常规题．