题目内容

正三棱锥P-ABC中，PA=1，则其体积的最大值是________．

$\text{[math]}$
分析：设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH．设AB=x，则AH= $\text{[math]}$ x，得三棱锥P-ABC体积V= $\text{[math]}$ x² $\text{[math]}$ ，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当x= $\text{[math]}$ 时，正三棱锥P-ABC体积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH
∵三棱锥P-ABC是正三棱锥
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC边上的中线
设AB=x，则AH= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x
Rt△PAH中，PH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴三棱锥P-ABC体积V= $\text{[math]}$ S_△ABC•AH= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x²× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ x² $\text{[math]}$
∵x² $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（3-x²）≤（ $\text{[math]}$ ）³=1
∴x² $\text{[math]}$ ≤2，可得V= $\text{[math]}$ x² $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ =3-x²时，即x= $\text{[math]}$ 时，正三棱锥P-ABC体积的最大值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出正三棱锥的侧棱长为1，求体积的最大值．着重考查了正三棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．