Question

如图，已知△OAP的面积为S，

OA

•

AP

=1．如果

1

2

＜S＜2，那么向量

OA

与

AP

的夹角θ的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得 OA•OP cos∠AOP=1，且  

1

2

＜

1

2

•OA•OP•sin∠AOP＜2，可得 1＜tan∠AOP＜4，从而  

π

4

＜∠AOP＜arctan4．

解答：解：由题意可得 OA•OP cos∠AOP=1，且  

1

2

＜

1

2

•OA•OP•sin∠AOP＜2，
∴1＜

sin∠AOP

cos∠AOP

＜4，∴1＜tan∠AOP＜4，∴

π

4

＜∠AOP＜arctan4，
故答案为：(

π

4

，arctan4)．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值的范围，求出角的范围，得到 1＜tan∠AOB＜4，
是解题的关键，属于中档题．