Question

如图，已知△OAP的面积为S，

OA

•

AP

=1．设|

OA

|=c(c≥2)，S=

3

4

c，并且以O为中心、A为焦点的椭圆经过点P．当|

OP

|取得最小值时，则此椭圆的方程为

 

．

Answer 1

分析：先以O为原点，

OF

所在直线为x轴建立直角坐标系，|

OF

|=c，P点坐标为（x₀，y₀），则

1

2

•|

OF

|•|y₀|=

1

2

×

4

3

m×|y0|=m，即 |y0|=

3

2

．因为

OF

=（c，0），

FP

=（x₀-c，y₀），

OF

•

FP

=1，可得 |

OP

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

，设 f(c)=c+

1

c

，判断知f（c）在[2，+∞）上是增函数；所以当c=2时，f（c）为最小，从而 |

OP

|为最小，此时P（

5

2

，

3

2

），最终得到答案．

解答：解：如图，以O为原点，

OF

所在直线为x轴建立直角坐标系
设|

OA

|=c(c≥2)，S=

3

4

c，
∴

1

2

•|

OF

|•|y₀|=

1

2

×

4

3

m×|y0|=m，∴|y0|=

3

2

∵

OF

=（c，0），

FP

=（x₀-c，y₀），

OF

•

FP

=1
∴c（x₀-c）=1，∴x0=c+

1

c

∴|

OP

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

设 f(c)=c+

1

c

，当c≥2时，任取c₂＞c₁≥2
有 f(c2)-f(c1)=c2+

1

c2

-c1-

1

c1

=(c2-c1)+

c1-c2

c1c2

=(c2-c1)(1-

1

c1c2

)
当c₂＞c₁≥2时，

1

c1c2

＜1，(1-

1

c1c2

)＞0，c2-c1＞0
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函数
∴当c=2时，f（c）为最小，从而 |

OP

|为最小，此时P（

5

2

，

3

2

）
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

a2-b2=4 25 4a2 + 9 4b2 =1

∴a²=10，b²=6
故椭圆的方程为

x2

10

+

y2

6

=1．
故答案为：

x2

10

+

y2

6

=1．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的标准方程的求法，解答的关键对向量的运算要相当熟悉，同时要善于利用函数思想求最值．