Question

如图，已知△OAP的面积为S，．设，，并且以O为中心、A为焦点的椭圆经过点P．当取得最小值时，则此椭圆的方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：先以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，=c，P点坐标为（x，y），则••|y|=，即 ．因为 =（c，0），=（x-c，y），•=1，可得 ==，设 ，判断知f（c）在[2，+∞）上是增函数；所以当c=2时，f（c）为最小，从而 为最小，此时P（ ），最终得到答案．
解答：解：如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
设，，
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴c（x-c）=1，∴
∴==
设 ，当c≥2时，任取c₂＞c₁≥2
有
当c₂＞c₁≥2时，
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函数
∴当c=2时，f（c）为最小，从而 为最小，此时P（ ）
设椭圆的方程为 ，则 ∴a²=10，b²=6
故椭圆的方程为 ．
故答案为：．
点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的标准方程的求法，解答的关键对向量的运算要相当熟悉，同时要善于利用函数思想求最值．