Question

已知点P(-3，0)，点R在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线RQ上，且=0，.

(Ⅰ)当R在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

(Ⅱ)若曲线C的准线交x轴于点N，过N的直线交曲线C于A、B两点，又AB的中垂线交x轴于点C，试问△ABE能否为正三角形?若能，求出x₀的值；若不能，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),

则由得,R(0,). 

又由=0,得(3,)·(x,)=0, 

即y²=4x. 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知点N(-1,0),设AB：y=k(x+1).

由,得k²x²+2(k²-2)x+k²=0.

由△＞0得k²＜1,且k=0. 

又AB的中点F(),

AB的中垂线方程为y, 

令y=0得x₀=,所以x₀＞3. 

若△ABE为正三角形,则E到AB的距离等于|AB|,

|EF|=k=±. 

此时x₀=＞3.