Question

已知点A(

3

， 0)和圆C：(x+

3

)2+y2=16，点M在圆C上运动，点P在半径CM上，且|PM|=|PA|．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求动点P到定点B（-1，0）的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得到点P到A、C两点的距离之和等于圆C的半径CM长，由此可得P的轨迹是以C、A为焦点的椭圆．结合题中数据算出椭圆的基本量，即可得到动点P的轨迹方程；
（2）设P的坐标为（x，y），由两点的距离公式得|PB|=

(x+1)2+y2

，再利用椭圆方程消去y得关于x的函数，再结合二次函数的单调性可得动点P到定点B的距离的最小值．

解答：解：（1）圆C：(x+

3

)2+y2=16的圆心为（-

3

，0），半径R=4
∵点M在圆C上运动，点P在半径CM上，且|PM|=|PA|
∴|PC|+|PA|=|PC|+|PM|=|CM|=4------------------------2分
可得点P的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，2a=4且2c=2

3

∴a=2，c=

3

，b=1------------------------------4分
椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1，即为所求动点P的轨迹方程；------6分
（2）设P的坐标为（x，y），则
|PB|=

(x+1)2+y2

，
根据椭圆方程，得y2=1-

x2

4

-------7分
代入上式，可得|PB|=

(x+1)2+(1- x2 4 )

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

-------------9分
∵-2≤x≤2------------------10分
∴当且仅当x=-

4

3

时，|PB|min=

2 3

=

6

3

即动点P到定点B（-1，0）的距离的最小值为

6

3

----------------------------12分．

点评：本题在圆中给出动点P满足的条件，求动点P的轨迹方程，并依此求距离的最大值．着重考查了椭圆的定义与标准方程、两点的距离公式和动点轨迹求法等知识，属于中档题．