Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在：轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点．

(1)求这三条曲线的方程；

(2)且是抛物线上任意一点，已知点P(3，0)，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设抛物线方程为y²=2px(p＞0)将M(1,2)代入方程p=2,故抛物线方程为y²=4x 

由题意知椭圆和双曲线的焦点为F₁(-1，0)，F₂(1，0)

所以：c=1，c′=1 

对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|

=

=

∴a=1+，a²=3+，∴b²=a²-c²=2+

∴椭圆的方程为=1 

对于双曲线：

2a′=||MF₁|-|MF₂||

=

=-2

∴a′=-1，a²=3-,∴b′²=c′²-a′²=-2

∴双曲线的方程为 

(2)假设存在直线l，其方程为x=m,设AP的中点为C，以AP为直径的圆交l于D、E两点，DE的中点为H.

令A(x₁,y₁),则C()

∴|DC|=|AP|=，

|CH|=|x₁-2m+3|

∴|DH|²=|DC|²-|CH|²

=[(x₁-3)²+]-(x₁-2m+3)²

=(m-2)x₁-m²+3m 

当m=2时，|DH|²=-4+6=2为定值，即弦长DE为一定值，此时l的方程为x=2

所以，存在直线l:x=2满足条件.