Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴为8离心率e=

3

2

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴为8，离心率e=

3

2

，知

2a=8 c a = 3 2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8(2k2-k)

4k2+1

，由M为AB的中点，知

x1+x2

2

=

4(2k2-k)

4k2+1

=2，由此能求出直线方程．
法二：设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，1）为AB的中点，所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，用点差法能求出直线方程．
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点为B（4-x，2-y），因为A、B两点在椭圆上，所以有

x2+4y2=16 (4-x)2+4(2-y)2=16

，由此能求出直线方程．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴为8，离心率e=

3

2

，
∴

2a=8 c a = 3 2

，
∴a=4，c=2

3

，b=

16-12

=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

16

+

y2

4

=1（6分）
（2）解法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，
又设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程的两个根，
于是x1+x2=

8(2k2-k)

4k2+1

，
又M为AB的中点，所以

x1+x2

2

=

4(2k2-k)

4k2+1

=2，
解得k=-

1

2

，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
解法二：设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（2，1）为AB的中点，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A、B两点在椭圆上，
则x12+4y12=16，x22+4y22=16，
两式相减得(x12-x22)+4(y12-y22)=0，
所以

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，
即kAB=-

1

2

，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），
由于中点为M（2，1），
则另一个交点为B（4-x，2-y），
因为A、B两点在椭圆上，
所以有

x2+4y2=16 (4-x)2+4(2-y)2=16

，
两式相减得x+2y-4=0，
由于过A、B的直线只有一条，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）

点评：本题考查椭圆标准方程和直线方程的求法，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．