Question

【题目】如图，已知面垂直于圆柱底面， 为底面直径， 是底面圆周上异于的一点， .求证:

（1）平面平面；

（2）求几何体的最大体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）证明两个平面垂直，应用两面垂直的判定定理，在其中一个面内找一条直线与另一个面垂直。由为底面直径， 是底面圆周上异于的一点，可得。由面垂直于圆柱底面，可得平面，因为平面，所以。因为, 平面, 平面，再由直线与平面垂直的判定定理可得平面.又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面. （2）要求几何体的最大体积，应先把几何体的体积表示出来，转化为求函数的最值问题。该几何体是三棱锥，其体积为底面积与高的乘积三分之一，因为平面，所以是三棱锥的高。因为为底面直径，且，故可设，在中, 。所以三棱锥的体积为

，因为为常数4，所以可由基本不等式求其最大值 .

试题解析:（1）证明：∵是底面圆周上异于的任意一点，且是圆柱底面圆的直径，∴，

∵平面， 平面，∴

∵, 平面, 平面

∴平面.又平面，

∴平面平面.

（2）设，在中, ，

∵平面，∴是三棱锥的高

因此，三棱锥的体积为

.当且仅当，即时，三棱锥的体积取最大值。

∴当，即时，三棱锥的体积的最大值为.