Question

证明一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

Answer 1

证明:充分性:若ac＜0,则b²-4ac＞0,且＜0,

∴方程ax²+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.

必要性:若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根,

则Δ=b²-4ac＞0,x₁x₂=＜0,∴ac＜0.

点评:该例的叙述格式是B成立的充要条件是A,因此由AB是充分性,由BA是必要性,这种问题还用另一种叙述格式:p是q成立的充要条件,这时由pq是充分性,由qp是必要性,在解决这类问题时,要弄清属于哪种叙述格式,避免在论证中将充分性错当必要性.