Question

设关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β（其中α＜β），函数．
（1）若a=1，求f（α）+f（β）的值；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（α，β）上是增函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β，a=1，可得，αβ=-1，故可求f（α）+f（β）的值；
（2）利用单调性的定义，设α＜x₁＜x₂＜β，则f（x₁）-f（x₂）=，可确定f（x₁）＜f（x₂），从而f（x）在（α，β）上是增函数．
解答：（1）解：∵关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β，a=1，
∴，αβ=-1．（2分）
∴==-1（6分）
（2）证明：设α＜x₁＜x₂＜β，则
f（x₁）-f（x₂）=，
∵4+a（x₁+x₂）-4x₁x₂=-4αβ+2（α+β）（x₁+x₂）-4x₁x₂=2[（x₁-β）（α-x₂）+（x₁-α）（β-x₂）]＞0
而x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（α，β）上是增函数．（12分）
点评：本题以方程为载体，考查根与系数的关系，考查函数单调性的证明，掌握单调性的证题步骤是关键．