Question

已知关于x的实系数一元二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α，β.判断命题：“若2|a|＜4+b,且|b|＜4,则|α|＜2且|β|＜2”的真假，并证明.

Answer 1

答案：真命题.

证明：由韦达定理：a=-（α+β）,b=αβ,?

∵2|a|＜4+b，且|b|＜4，?

∴-4＜αβ＜4，∴αβ+4＞0.?

由2|α+β|＜4+αβ,?

∴-4-αβ＜2（α+β）＜4+αβ,?

即

∴

又∵|αβ|＜4,?

∴-2＜α＜2,-2＜β＜2,?

即|α|＜2,|β|＜2.