Question

（2010•合肥模拟）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S_△ABC，且S_△ABC=bc•cosA．
（1）求sin²A+sinA•cosA的值；
（2）若b²=a²+c²-

2

ac，b=

5

，求c．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，代入已知的等式中，由bc不为0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，求出tanA的值，然后把所求的式子分母1变为sin²A+cos²A，分子分母同时除以cos²A，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanA的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入求出cosB的值，同时由第一问tanA的值求出sinA及cosA的值，由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，sinB及b的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）∵S_△ABC=bccosA，且S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴

1

2

bcsinA=bccosA，
∴tanA=2，
则原式=

sin2A+sinAcosA

sin2A+cos2A

=

tan2A+tanA

1+tan2A

=

6

5

；
（2）∵b²=a²+c²-

2

ac，即a²+c²-b²=

2

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

2

，又B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2

2

，
∵tanA=2，bccosA＞0，即cosA＞0，
∴cosA=

1 1+tan2A

=

1

5

，sinA=

1-cos2A

=

2

5

，
∴sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=

2

2

（sinA+cosA）
=

2

2

•

3 5

5

=

3 10

10

，
由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，
∴c=

bsinC

sinB

=3．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．