Question

【题目】边长为1的正三角形，、分别是边、上的点，若，，其中，设的中点为，中点为.

（1）若、、三点共线，求证：；

（2）若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.

【解析】

(1)利用共线向量基本定理得,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;

(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将表示为的二次函数,求出二次函数的最小值.

(1)由三点共线,得共线,

根据共线向量定理可得,存在使得,

即,

所以,

根据平面向量基本定理可得,

所以.

(2)因为,

又,所以,

因为三角形是边长为1的正三角形,所以,,

所以

,

所以时,取得最小值.