Question

已知点A，B的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为．

(1)求点M轨迹C的方程；

(2)若过点D(2，0)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在D、F之间)，试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围(O为坐标原点)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设点的坐标为， 　　∵，∴．……………………2分 　　整理，得()，这就是动点M的轨迹方程．……4分 　　(2)方法1：如图，由题意知直线的斜率存在， 　　设的方程为()　…… ①…………………5分 　　将①代入， 　　得，………………6分 　　由，解得．……………………………7分 　　设，，则……②……8分 　　令，则，即，即，且……………………9分 　　由②得， 　　即 　　．…………………………………11分 　　且且． 　　解得且…………………………………13分 　　，且． 　　∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．……14分 　　方法2：如图，由题意知直线的斜率存在， 　　设的方程为……①…………5分 　　将①代入， 　　整理，得，…………6分 　　由，解得．………………………………………7分 　　设，，则……②…………8分 　　令，且．……………………9分 　　将代入②，得 　　∴．即．…………………………11分 　　∵且，∴且． 　　即且． 　　解得且．……………………………13分 　　，且． 　　故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．……14分