Question

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

1

2

．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过D（2，0）的直线l与轨迹C有两个不同的交点时，求l的斜率的取值范围；
（3）若过D（2，0），且斜率为

14

6

的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的E、F（E在D、F之间），求△ODE与△ODF的面积之比．

Answer 1

分析：（1）设点M的坐标为（x，y），由kAM•kBM=-

1

2

，知

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

．由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）设l的方程为y=k（x-2）（k≠±

1

2

），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-8k²-x+（8k²-2）=0，由此能求出l的斜率的取值范围．
（3）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

y= 14 6 (x-2) x2 2 +y2=1

，得8x²-14x+5=0，由此能求出△ODE与△ODF的面积之比．

解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
∵kAM•kBM=-

1

2

，
∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

．
整理，得

x2

2

+y2=1（x≠0），
这就是动点M的轨迹方程．（4分）
（2）由题意知直线l的斜率存在，
设l的方程为y=k（x-2）（k≠±

1

2

） ①
将①代入

x2

2

+y2=1，
得（2k²+1）x²-8k²-x+（8k²-2）=0（*）
由△＞0，解得k∈(-

2

2

，-

1

2

)∪(-

1

2

，

1

2

)∪(

1

2

，

2

2

)．（8分）
（3）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

y= 14 6 (x-2) x2 2 +y2=1

，
消x得：8x²-14x+5=0，
∴x1=

1

2

，x2=

5

4

，
令

S△ODE

S△ODF

=

|DE|

|DF|

=λ

DE

=λ 

DF

，
∴λ=

x1-2

x2-2

=

1

2

λ=1：2 （13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．