Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AC⊥BD，再利用向量的方法证明DB⊥AP，从而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出平面PDB的法向量为

n1

=(-

2 3

3

，0，1)，

DA

=(

3

，1，0)，从而可求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求出平面ABP的法向量

n2

=(

3

3

，1，0)，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-PB-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：设AC与BD交于O点
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
以OA、OB所在直线分别x轴，y轴．以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，D(0，-1，0)，P(

3

，0，2)
∵

DB

=(0，2，0)，

AP

=(0，0，2)…（2分）
∴

DB • AP =0

∴DB⊥AP
∵AC⊥BD，AC∩AP=A
∴DB⊥平面PAC，又DB?平面PDB
∴平面PBD⊥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）解：设平面PDB的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，

DP

=(

3

，1，2)，

DB =(0，2，0)

由

n1 • DP =0 n1 • DB =0

，∴

3 x1+y1+2z 1=0 2y1=0

令z₁=1得

n1

=(-

2 3

3

，0，1)…（6分）
∵

DA

=(

3

，1，0)
∴点A到平面PBD的距离

d= | n1 • DA| | n 1 |

=

2 21

7

…（8分）
（Ⅲ）解：设平面ABP的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，

AP

=(0，0，2)，

AB

=(-

3

，1，0)
∵

AP • n 2=0 AB • n 2=0

，∴

2x2=0 - 3 x2+y2=0

∴

n2

=(

3

3

，1，0)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

= 7 7

…（11分）
∴二面角A-PB-D的余弦值为

7

7

…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查点到平面的距离，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，考查学生的计算能力，属于中档题．