Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）要证平面PBD⊥平面PAC，我们可以在一个平面内寻找另一平面的垂线，即证BD⊥平面PAC．利用线线垂直，可以证得线面垂直；
（2）先找出表示点A到平面PBD的距离的线段，AC∩BD=O，连接PO，过A作AE⊥PO交PO于E，所以AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，故可求；
（3）先利用三垂线定理，作出二面角B-PC-A的平面角，再利用三角形的相似即可求得．

解答：证明：（1）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA
∵AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC   （3分）
（2）AC∩BD=O，连接PO，过A作AE⊥PO交PO于E，
∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，
在三角形PAO中，PA=2，AO=

3

，
∴PO=

7

，
∴AE=

PA×AO

PO

=

2 21

7

．（3分）
（3）过O作OF⊥PC，连BF，
∵OB⊥平面PAC，由三垂线定理，PC⊥BF，
∴∠OFB为二面角B-PC-A的平面角，
∵AC=2

3

，PC=4，OC=

3

，Rt△OFC～Rt△PAC
∴

OF

PA

=

OC

PC

⇒

OF

2

=

3

4

⇒OF=

3

2

∴tan∠OFB=

OB

OF

=

1

3 2

=

2 3

3

∴∠OFB=arctan

2 3

3

，所求二面角大小为arctan

2 3

3

（3分）

点评：本题以线面垂直为载体，考查面面垂直，考查点面距离，考查面面角，解题的关键是正确运用面面垂直的判定定理，找出表示点面距离的线段及面面角．