Question

【题目】已知 =（sinx，cos2x）， =（ cosx，1），x∈R，设f（x）= ．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = sinxcosx+cos2x= + =sin（2x+ ）+

由﹣ +2kπ ，得﹣ +kπ ，（k∈Z）

∴f（x）的单调递增区间为[﹣ ， ]，（k∈Z）

（2）解：由f（A）=sin（2A+ ）+ =1得sin（2A+ ）=

∵A∈（0，π）∴

∴ ．

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，

∴bc≤4

SABC= = ，∴△ABC面积的最大值为

【解析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式整理得到f（x）=sin（2x+ ）+ ，由正弦函数的增区间整体思想代入即可求出正弦型函数的增区间。（2）由已知整理可得sin（2A+ ）= ，根据角A的取值范围得到2 A + 的取值范围，进而得到角A的值，再根据余弦定理得到关于b、c的代数式，利用基本不等式可得到bc≤a2 ，即bc≤4。再根据三角形面积公式即可求出最大值。