Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tan∠BDC的值等于（　　）

• A、3

  3

• B、

  3

  5

• C、-

  3

  5

• D、-3

  3

Answer 1

分析：根据离心率的值求出

b

a

和

b

c

  的值，求得tan∠BAO=

BO

AO

=

b

a

的值，再求出tan∠OFC=

OC

OF

=

b

c

的值，
代入tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC） 进行运算．

解答：解：∵离心率e=

1

2

，∴

b

a

=

a2-c2

a

=

1-e2

=

3

2

，

b

c

=

b

1 2 a

=

3

．
由图可知，tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），∴tan∠BAO=

BO

AO

=

b

a

=

3

2

，
tan∠OFC=

OC

OF

=

b

c

=

3

，代入公式即得
tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）=

tan∠BAO+tan ∠OFC

1-tan∠BAO•tan ∠OFC

=-3

3

，
故选 D．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，两角和差的正切函数，判断tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），是解题的难点和
关键．