Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到左焦点为F的最大距离是2+

3

，已知点M（1，e）在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点且斜率为K的直线交椭圆于P、Q两点，其中P在第一象限，它在x轴上的射影为点N，直线QN交椭圆于另一点H．证明：对任意的K＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆上的点到左焦点为F的最大距离是2+

3

，M（1，e）在椭圆上，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线QN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意，

a+c=2+ 3 1 a2 + c2 a2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）证明：令P（x₁，kx₁），H（x_H，y_H），则Q（-x₁，-kx₁），N（x₁，0）
∴k_PN=

k

2

，∴直线QN的方程为y=

k

2

（x-x₁），
代入

x2

4

+y2=1，整理得（1+k²）x²-2k²x₁x+k2x12-4=0
∴（-x₁）+x_H=

2k2x1

1+k2

，∴x_H=

2k2x1

1+k2

+x₁，
∴

PQ

=（-2x₁，-2kx₁），

PH

=（

2k2x1

1+k2

，

-kx1

1+k2

）
∴

PQ

•

PH

=

-2k2x12

1+k2

∵k＞0，x₁＞0，∴

PQ

•

PH

＜0
∴对任意的k＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．