Question

19.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=，AF=1,M是线段EF的中点.

（Ⅰ）求证：AM⊥平面BDF;

（Ⅱ）求二面角A－DF－B的大小;

Answer 1

19.本题主要考查空间线面关系及空间向量概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解：方法一：

（Ⅰ）记AC∩BD=O,连结OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

（Ⅱ）∵BD⊥AC,BD⊥AF,且AC交AF于A,

∴BD⊥平面AE,又因为AM平面AE,

∴BD⊥AM.

∵AD=,AF=1,OA=1,

∴AOMF是正方形,

∴AM⊥OF,又AM⊥BD,且OF∩BD=O.

∴AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）设AM∩OF=H,过H作HG⊥DF于G,连结AG,

由三垂线定理得AG⊥DF,

∴∠AGH是二面角A－DF－B的平面角.

∵AH=,AG=,

∴sinAGH=,∠AGH=60°，

∴二面角A－DF－B的大小为60°.

方法二：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

设AC∩BD=N,连结NE,

则点N、E的坐标分别是（,,0）、（0,0,1）,

∴=（－,－,1）.

又点A、M的坐标分别是

（,,0）、（,,1）,

∴=（－,－,1）.

∴=且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

（Ⅱ）=（－,－,1）,

∵D（,0,0）,F（,,1）,

∴=（0,,1），

∴·=0，所以⊥.

同理⊥，又DF∩BF=F,

∴AM⊥平面BDF.

（Ⅲ）∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=（－,0,0）为平面DAF的法向量.

∵·=（－,－,1）·（－,,0）=0,

·=（－,－,1）·（,,1）=0得

⊥,⊥,

∴为平面BDF的法向量.

∴cos〈,〉=.

∴与的夹角是60°.

即所求二面角A－DF－B的大小是60°.