Question

已知函数f（x²-3）=lg

x2

x2-6

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

（1）设x²-3=t，因为

x2

x2-6

＞0所以t＞

6

或t＜-

6

，则x²=t+3，
所以原函数转化为f（t）=lg

t+3

t-3

，由

t+3

t-3

＞0得定义域为{t|t＞3或t＜-3}
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定义域为{x|x＞3或x＜-3}
（2）由（1）知定义域{x|x＞3或x＜-3}关于原点对称，
而f（-x）=lg

-x+3

-x-3

=lg

x-3

x+3

=lg（x-3）-lg（x+3）
f（x）=lg

x+3

x-3

=lg（x+3）-lg（x-3）
所以，f（-x）+f（x）=0
即f（-x）=-f（x）
所以f（x）为奇函数．
（3）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg

φ(x)+3

φ(x)-3

=lgx
即：

φ(x)+3

φ(x)-3

=x
解得：φ（x）=

3x+3

x-1

则：φ（3）=6