Question

16．如图，边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意画出图形，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC₁，从而得到AC₁⊥BD；
（Ⅱ）利用等积法即可求得点A到平面A₁BD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接AC交BD于O，
∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
又C₁C⊥底面ABCD，∴C₁C⊥BD，
又AC∩C₁C=C，∴BD⊥平面ACC₁，则AC₁⊥BD；
（Ⅱ）解：在正方体AC₁ 中，∵${A}_{1}B=BD={A}_{1}D=\sqrt{2}a$，
∴${S}_{△{A}_{1}BD}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
设点A到平面A₁BD的距离为h，则由${V}_{{A}_{1}-ABD}={V}_{A-{A}_{1}BD}$，
得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×h$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}$．

点评 本题考查点线面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．