Question

已知定点，动点B是圆F：（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF与P。

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）直线交P点的轨迹于M、N两点，若P点的轨迹上存在点C，使

，求实数m的值；

（Ⅲ）是否存在过点的直线l交P点的轨迹于点R、T，且满足（O为原点）？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意：∵

∴

∴P点轨迹为以A，F为焦点的椭圆

设方程为

∴

∴  ∴P点轨迹方程为

（Ⅱ）设   ∵

∴   ∴

 由，得：

∴

  ∴   

  ∵C在椭圆上，∴

  ∴    ∴

（Ⅲ）假设存在满足题意的直线，其斜率存在，设为，设

  ∵

  ∴

  由  得  ①

∴      

∴  

  

∴    代入①

   △＞0

∴   ∴的方程为

∴存在 或满足题意