Question

已知定点A（-l，0），动点B是圆F：（x-1）²+y²=8（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交线段BF于点P．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）是否存在过点E（0，2）的直线l交动点P的轨迹于点R、T，且满足

OR

•

OT

=0（O为原点），若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
（II） 设存在满足条件的直线l：y=kx+2，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系以及

OR

•

OT

=0，解方程求出斜率  k，从而求得直线l的方程．

解答：解：（I）由题意得 圆心F（1，0），半径等于2

2

，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径2

2

＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
2a=2

2

，c=1，∴b=1，∴椭圆的方程为

x2

2

+y2= 1．
（II） 设存在满足条件的直线l，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=kx+2，设 R （x₁，y₁ ），
T（x₂，y₂），∵

OR

•

OT

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0     ①．
把线l的方程 y=kx+2代入椭圆方程化简可得 （2k²+1）x²+8kx+6=0，∴x₁+x₂=

-8k

2k2+1

，
x₁x₂=

6

2k2+1

，∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）

6

2k2+1

+2k

-8k

2k2+1

+4=

10-2k2

2k2+1

=0，
∴k=

5

  或-

5

．满足△＞0，故存在满足条件的直线l，其方程为 y=±

5

 x=2，
即

5

 x-y+2=0，或

5

 x+y-2=0．

点评：本题考查用定义法求点的轨迹方程，两个向量的数量积公式，一元二次方程根与系数的关系，求直线l的斜率是解题
的难点．