Question

(19)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形, 平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.

(Ⅰ)证明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小;

(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.

Answer 1

(19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.

解法一：

(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB,

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD且AC⊥BD,

∴AC⊥平面SDB.

又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,

∴平面SDB⊥平面ABC,

过N作NE⊥BD于E,则NE⊥平面ABC;

过E作EF⊥CM于F,连结NF,则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N—CM—B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.

∵SN=NB,∴NE=SD===,且ED=EB.

在正△ABC中,由平面几何知识可求得EF=,MB=.

在Rt△NEF中，tanNFE==2,

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.

(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==,

∴S_△CMN=CM·NF=,S_△CMB=BM·CM=2.

设点B到平面CMN的距离为h,

∵V_B—CMN=V_N—CMB,NE⊥平面CMB,∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE,

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.

解法二：(Ⅰ)取AC中点O,连结OS、OB.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,

平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥平面ABC,∴SO⊥BO.

如图建立空间直角坐标系O－xyz.

则A(2,0,0),B(0,2,0),C(－2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).

∴=(－4,0,0),=(0,2,－2).

∵·=(－4,0,0)·(0,2,－2)=0,

∴AC⊥SB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0),=(－1,0,),

设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

则取z=1,则x=,y=－,

∴n=(,－,1).

又=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量,

∴cos〈n, 〉==.

∴二面角N—CM—B的大小为arccos.

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(－1,,0),n=(,－,1)为平面CMN的一个法向量,

∴点B到平面CMN的距离d==.