Question

（19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.

（Ⅰ）证明：SG∠BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积V_S－ABC.

Answer 1

（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.

解：

（Ⅰ）∵ ∠SAB=∠SAC=90°，

∴ SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC=A，

∴　SA⊥平面ABC.

又∠ACB=90°，即BC⊥AC，

根据三垂线定理，得SC⊥BC.

 

（Ⅱ）∵　BC⊥AC，SC⊥BC，

∴ ∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，

∵　BC=5,SB=5，

∴　SC=＝10.

在Rt△SAC中，

∵　SC=10，AC=5，

∴　cosSCA=＝.

∴　∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.

 

（Ⅲ）在Rt△SAC中,

∵　SA=，

 　　　

S_△ABC =BCBC==.

 

∴　V_S—ABC=S_△ACBSA==.