Question

已知抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

(3)以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

Answer 1

解：(1)抛物线y²=2px的准线为x=-,

于是，4+=5,∴p=2.

∴抛物线方程为y²=4x.

(2)∵点A的坐标是（4，4），

由题意得B（0，4），M（0，2）.

又∵F（1，0），∴k_FA=.

又MN⊥FA,∴k _MN=-,

则FA的方程为y=(x-1)，MN的方程为y-2=-x,

解方程组

∴N().

(3)由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2，

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.

当m≠4时，直线AK的方程为y=(x-m),

即为4x-(4-m)y-4m=0.

圆心M（0，2）到直线AK的距离

d=

令d＞2，解得m＞1，

∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；

当m=1时，直线AK与圆M相切；

当m＜1时，直线AK与圆M相交.