Question

17．求证：
（1）函数f（x）=-2x²+3在区间（-∞，0]上是单调增函数；
（2）函数f（x）=-x³+1在区间（-∞，0]上是单调减函数；
（3）函数f（x）=2-$\frac{3}{x}$在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）在要求证的区间内任取两个自变量x₁，x₂，规定大小后把对应的函数值作差，因式分解后判断差式的符号，从而得到对应函数值的大小，然后利用增函数的概念得到证明；
（2）（3）根据函数的单调性的定义证明即可．

解答 证明：（1）设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-2${{x}_{1}}^{2}$+2${{x}_{2}}^{2}$=2（x₂+x₁）（x₂-x₁）．
∵x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0．
∴2（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜0．
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在区间（-∞，0]）上是增函数．
（2））设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-${{x}_{1}}^{3}$+${{x}_{2}}^{3}$=（x₂-x₁）（${{x}_{2}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{1}}^{2}$），
∵x₁＜x₂≤0，∴x₂-x₁＞0，${{x}_{2}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{1}}^{2}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）=-x³+1在区间（-∞，0]上是单调减函数；
（3）设x₁＜x₂＜0，则：
f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{3}{{x}_{1}}$+$\frac{3}{{x}_{2}}$=$\frac{3{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数，
同理可证函数f（x）=2-$\frac{3}{x}$在区间（0，+∞）上都是单调增函数．

点评 本题考查了函数单调性的判断与证明，训练了因式分解法，解答此题的关键是因式分解要彻底，避免出现证题用题的现象的发生．是基础题．