已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.椭圆左.右顶点分别为A.B.且A到椭圆两焦点的距离之和为4．设P为椭圆上不同于A.B的任一点.作PQ⊥x轴.Q为垂足．M为线段PQ中点.直线AM交直线l:x=b于点C.D为线段BC中点．(1)求椭圆的方程,(2)证明:△OMD是直角三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．

已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆左、右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4．设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足．M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图）．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：△OMD是直角三角形．

分析（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）A（-1，0），B（1，0），直线l：x=1．设点P（x₀，y₀），可得点M，把P代入椭圆方程可得$4x_0^2+y_0^2=4$．得出直线AM的方程，令x=1，得C（1，$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}$），可得D（1，$\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}$）．再利用向量垂直与数量积的关系即可证明．

解答解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（2）证明：A（-1，0），B（1，0），直线l：x=1．
设点P（x₀，y₀），可得点$M（{x_0}，\frac{y_0}{2}）$，且$4x_0^2+y_0^2=4$，
直线AM：$y=\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}（x+1）$，令x=1，得C（1，$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}$），∴D（1，$\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}$）．
∴$\overrightarrow{OM}=（{x_0}，\frac{y_0}{2}）$，$\overrightarrow{DM}=（{x_0}-1，\frac{y_0}{2}-\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}）=（{x_0}-1，\frac{{{x_0}{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}）$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{DM}=（{x_0}，\frac{y_0}{2}）•（{x_0}-1，\frac{{{x_0}{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}）={x_0}（{x_0}-1）+\frac{{{x_0}y_0^2}}{{4（{x_0}+1）}}=\frac{{{x_0}（4x_0^2-4+y_0^2）}}{{4（{x_0}+1）}}$，
∵$4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{DM}$=0，
∴∠OMD=90°．
故△OMD是直角三角形．

点评本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积直之间的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案

起跑线系列丛书新课标寒假作业系列答案

期末寒假一本通系列答案

期末寒假衔接快乐驿站假期作业新疆青少年出版社系列答案

期末寒假提优计划系列答案

期末寒假大串联黄山书社系列答案

金牌教辅假期快乐练培优寒假作业系列答案

仁爱英语开心寒假系列答案

名题文化步步高书系寒假作业武汉出版社系列答案

Happy寒假作业快乐寒假系列答案

金象教育U计划学期系统复习寒假作业系列答案

相关题目

18．已知：a_n=1024+lg2^1-n（lg2=0.3010），n∈N₊．
（1）问前多少项之和为最大？
（2）前多少项之和的绝对值最小？

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．

5．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，右焦点为（2$\sqrt{2}$，0），过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆G于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}$为定值，并求△AOM面积的最小值．

12．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²的焦点与椭圆$\frac{y^2}{m}$+$\frac{x^2}{2}$=1的一个焦点重合，则m=（　　）

$\frac{127}{64}$

$\frac{129}{64}$

2．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，且|F₁F₂|=2，若椭圆C经过点M（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设平行于F₁M的直线l（不过椭圆的上下两个顶点）交椭圆C于不同的两点A和B，直线MA和MB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=4，求直线l的方程．

9．已知f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-log₂x在区间（1，$\frac{3}{2}$）内有一个零点x₀，若用二分法求x₀的近似数（精度为0.1），则需要将区间对分的次数为（　　）

如图，椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=4的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P（$\sqrt{2}$，1），求△PAB面积的最大值．

7．已知m、n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，且m⊥α，n?β，则“α⊥β”是“m∥n”的（　　）

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	充要条件		D．	既不充分也不必要条件