Question

已知函数f（x）满足f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的定义域；
（3）判定f（x）的奇偶性与实数a之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）令ax-1=t则x=

t+1

a

，再利用条件：“f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)”将其中的ax-1用t进行代换即可得出f（t），从而得出f（x）的表达式；
（2）对a进行分类讨论：a＞0时，a＜0时，再利用对数的真数为正数即可得出函数的定义域；
（3）利用 （1）求得的函数的定义域，当定义域关于原点对称时a=2，此时f(x)=lg

x+5

x-5

为奇函数；当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称，f（x）为非奇非偶函数．

解答：解：（1）设ax-1=t则x=

t+1

a

，
由于f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)，
∴f(t)=lg

t+1 a +2

t+1 a -3

=lg

t+1+2a

t+1-3a

，
从而f(x)=lg

x+1+2a

x+1-3a

（4分）
（2）a＞0时，

x+1+2a

x+1-3a

＞0⇒x∈（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），
即函数的定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），
a＜0时，

x+1+2a

x+1-3a

＞0⇒x∈（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）． 
即定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．    （8分）
（3）当定义域关于原点对称时a=2，此时f(x)=lg

x+5

x-5

（10分）
∵f(-x)=lg

x-5

x+5

=-f(x)，∴f（x）为奇函数，（13分）
当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称，
故f（x）为非奇非偶函数．                             （15分）

点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的应用、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．