Question

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例常数为b,固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y元表示为速度v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶?

Answer 1

答案：
解析：

解析:(1)因为汽车每小时的运输成本为bv2+a(元),全程时间为(小时),故y=(bv2+a),即y=s(+bv),v∈(0,c］. (2)由于+bv≥,仅当v=时取等号,故①若≤c,则当v=时,y取最小值. ②若≥c,则先证y=s(+bv),v∈(0,c］为单调减函数. 事实上,当v1、v2∈(0,c］,且v1＜v2,则y1-y2=s［(+bv1)-(+bv2)］ =s［(-)+(bv1-bv2)］ =s(v1-v2)(b-) =sb(v1-v2)·. ∵v1、v2∈(0,c］,v1＜v2, ∴v1-v2＜0,v1v2＞0,v1＜,v2≤. 进而v1v2＜,从而y1-y2＞0. 故y=s(+bv),v∈(0,c］为单调减函数,由此知当v=c时取得最小值. 综上可知,若≤c,则当v=时,y取最小值;若≥c,则当v=c时取得最小值.