Question

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．
（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．

解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s

v

，全程运输成本为y=a•

S

v

+bv2•

S

v

=S(

a

v

+bv)
故所求函数及其定义域为y=S(

a

v

+bv)，v∈(0，c]
（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有S(

a

v

+bv)≥2S

ab

当且仅当

a

v

=bv，．即v=

a b

时上式中等号成立
若

a b

≤c，则当v=

a b

时，全程运输成本y最小，
若

a b

＞c，即a＞bc²，则当v∈（0，c]时，有S(

a

v

+bv)-S(

a

c

+bc)=S[(

a

v

-

a

c

)+(bv-bc)]
=

S

vc

(c-v)(a-bcv)
因为c-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0，
所以S(

a

v

+bv)≥S(

a

c

+bc)，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当

ab

b

≤c时行驶速度应为v=

ab

b

；当

ab

b

＞c时行驶速度应为v=c．

点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．