Question

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是

2

4

．

Answer 1

分析：先利用变换角的方法，将已知等式转化为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，再利用三角变换公式将等式化简得tan（α+β）=2tanα，最后利用两角差的正切公式将tanβ表示为tanα的函数，利用均值定理球最值即可

解答：解：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即

sin(α+β)cosα

cos(α+β)

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)

∴tan（α+β）=2tanα  （tanα≠0）
因为tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2tan2α

=

1

1 tanα +2tan α

显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=

1

1 tanα +2tan α

≤

1

2 1 tanα ×2tanα

=

1

2 2

=

2

4

当且仅当tanα=

2

2

时取等号
综上所述，tanβ的最大值是

2

4

故答案为

2

4

点评：本题主要考查了三角化简和求值中变换角的方法和技巧，三角变换公式在化简和求值中的应用，均值定理求最值的方法，特别注意最值取得时等号成立的条件，属中档题