题目内容

已知A₁，A₂为双曲线C： $数学公式$ 的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A₁P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足 $数学公式$ ，其中 $数学公式$ ，求出直线AB斜率的取值范围．

解：（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）， $\text{[math]}$
直线A₁P的方程为： $\text{[math]}$ ，（1）
直线A₂Q的方程为： $\text{[math]}$ ，（2）
将（1）×（2）得到： $\text{[math]}$ ，又因为 $\text{[math]}$ ．
所以得到M的轨迹方程为： $\text{[math]}$ ，（y≠0）
（2） $\text{[math]}$ ，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由 $\text{[math]}$ 消去x得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
根据条件可知 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ （5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得 $\text{[math]}$
又由 $\text{[math]}$ 得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
$\text{[math]}$ 从而 $\text{[math]}$ 消去y₂得 $\text{[math]}$ 消去
令 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$
由于 $\text{[math]}$ 所以∅（λ）是区间 $\text{[math]}$ 上的减函数，
从而 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
因此直线AB的斜率的取值范围是 $\text{[math]}$
分析：（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），从而可得直线A₁P的方程为： $\text{[math]}$ 直线A₂Q的方程为： $\text{[math]}$ 由两式得到： $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ ，可得M的轨迹方程
（2） $\text{[math]}$ ，∴A，B，N三点共线，及点N的坐标为（-2，0）．可设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．，联立方程 $\text{[math]}$ 消去x得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
根据条件可知 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，又由 $\text{[math]}$ ，建立坐标之间的关系，结合函数的单调性进行求解即可
点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解椭圆的方程，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合考查，要求考生具备一定的综合能力及推理运算的能力，综合性比较强．