Question

已知A₁，A₂为双曲线C：的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A1P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（﹣2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足，其中，求出直线AB斜率的取值范围．

Answer 1

解：（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，﹣y₀），
直线A₁P的方程为：，（1）
直线A₂Q的方程为：，（2）
将（1）×（2）得到：，又因为．
所以得到M的轨迹方程为：，（y≠0）
（2），∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（﹣2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由消去x得，
即
根据条件可知解得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则根据韦达定理，得
又由得（x₁+2，y₁）=λ（x2+2，y2）
从而
消去y₂得
令
则
由于
所以φ（λ）是区间上的减函数，
从而，
即，，
∴
解得
而，
∴
因此直线AB的斜率的取值范围是。