Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，求m，n的值．

Answer 1

分析 求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量的加减运算和垂直的条件：数量积为0，以及向量模的公式，解方程即可得到所求m，n的值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$=（3，4），
$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$=（4，3），
$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=（3m+4n，4m+3n），
由$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，可得：
3（3m+4n）+4（4m+3n）=0，
且（3m+4n）²+（4m+3n）²=1，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{24}{35}}\\{n=-\frac{5}{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{24}{35}}\\{n=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的垂直的条件和向量的模的公式的运用，属于基础题．