Question

已知函数f（x）=sin（x+a）+

3

cos（x-a）（|a|＜

π

2

）的图象关于y轴对称，则角a的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：依题意知，f（-x）=f（x），即sin（-x+a）+

3

cos（-x-a）=sin（x+a）+

3

cos（x-a）①，利用三角恒等变换对①式整理可得a=kπ-

π

6

（k∈Z），又|a|＜

π

2

，从而可得
角a的值．

解答： 解：∵函数f（x）=sin（x+a）+

3

cos（x-a）（|a|＜

π

2

）的图象关于y轴对称，
∴y=f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即sin（-x+a）+

3

cos（-x-a）=sin（x+a）+

3

cos（x-a），①
∵cos（-x-a）=cos（x+a），sin（-x+a）=-sin（x-a），
∴①式变形为：sin（x+a）-

3

cos（x+a）=-

3

cos（x-a）-sin（x-a），
∴2sin[（x+a）-

π

3

]=-2sin[

π

3

+（x-a）]=2sin[（x-a）-

2π

3

]，
∴x+a-

π

3

=x-a-

2π

3

+2kπ，或x+a-

π

3

=π-（x-a-

π

3

）+2kπ（k∈Z），
∴2a=2kπ-

π

3

或2x=2kπ+

5π

3

（舍去），
∴a=kπ-

π

6

（k∈Z），又|a|＜

π

2

，
∴a=-

π

6

．
故答案为：-

π

6

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查诱导公式与两角和与差的正弦的综合应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．