Question

已知函数f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1处取得极值2．
（I）求f（x）的解析式；
（II）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先由已知函数求其导数，再根据函数f（x）在x=1处取得极值2，列出关于a，b的方程即可求得函数f（x）的解析式；
（II）求f′（x），令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得函数f（x）的极小值，且当x＞1时，f（x）＞0恒成立，得函数f（x）的最小值，利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[-1，1]上的最大值，由g（x）在[-1，1]上的最大值小于等于-2得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．

解答：解：（I）f′（x）=

m(x2+n)-mx•2x

(x2+n)2

=

-m(x2-n)

(x2+n)2

，
由题意可得

f′(1)=0 f(1)=2

，
∴

-m(1-n) (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
∴

m=4 n=1

∴f（x）=

4x

x2+1

（II）f′（x）=

-4(x2-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x）的最小值为-2（10分）∵对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．

点评：（I）考查了函数的求导及极值的概念，还考查了利用方程求解的思想．
（II）求二次函数在动轴定区间的最大值，数形结合，分类讨论，求非初等函数的最值，求导，利用函数的单调性．