Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的性质及CD⊥AC结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，进而CD⊥AE，根据等腰三角形三线合一，可得AE⊥PC，进而AE⊥面PCD，可得AE⊥PD，进而根据BA⊥PD，得到故PD⊥面ABE
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出平面APD和平面PCD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?面PAC
故CD⊥面PAC
又∵AE⊆面PAC，
故CD⊥AE…（4分）
又PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC
∵CD∩PC=C，CD，PC?面PCD
从而AE⊥面PCD，
∵PD?面PCD
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，
故PD⊥面ABE…（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系，设AC=a，
则A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、D(0，

2a

3

，0)，C(

a

2

，

3 a

2

，0)，
从而

PD

=(0，

2a

3

，-a)，

DC

=(

a

2

，-

3 a

6

，0)，…（9分）
设

n1

=(x，y，z)为平面PDC的法向量，
则

n1 • PD = 2a 3 y-az=0 n1 • DC = a 2 x- 3 a 6 y=0

⇒可以取

n1

=(1，

3

，2)  …（11分）
又

n2

=(1，0，0)为平面PAD的法向量，
若二面角A-PD-C的平面角为θ
则|cosθ|=

1

| n1 |•| n2 |

=

1

8

  …（11分）
因此sinθ=

14

4

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，（1）的关键是熟练掌握空间线面垂直与线线垂直之间的相互转化，（2）的关键是构造坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．