Question

8．已知f（α）=$\frac{sin（π-α）cos（2π-α）tan（-α+\frac{3π}{2}）}{cos（-π-α）}$，
（1）求f（-$\frac{31π}{3}$）的值；
（2）若2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α的值；
（3）若f（α）=$\frac{3}{5}$，求sinα，tanα的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式可得f（α）=-cosα，从而可求f（-$\frac{31π}{3}$）=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）由题意-2cos（π+α）=-cos（$\frac{π}{2}$+α），解得2cosα=sinα，tanα=2，由同角三角函数基本关系的运用即可求职．
（3）由f（α）=$\frac{3}{5}$，可求cosα=-$\frac{3}{5}$，利用同角三角函数基本关系的运用即可得解．

解答 解：（1）∵f（α）=$\frac{sin（π-α）cos（2π-α）tan（-α+\frac{3π}{2}）}{cos（-π-α）}$=$\frac{sinαcosαcotα}{-cosα}$=-cosα，
∴f（-$\frac{31π}{3}$）=-cos（-$\frac{31π}{3}$）=-cos（10$π+\frac{π}{3}$）=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），
∴-2cos（π+α）=-cos（$\frac{π}{2}$+α），解得2cosα=sinα，tanα=2，
∴$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α=3+$\frac{1+cos2α}{2}$=3+$\frac{1+\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}}{2}$=3+$\frac{1}{5}$=$\frac{16}{5}$．
（3）∵f（α）=$\frac{3}{5}$，求sinα，tanα
∴-cosα=$\frac{3}{5}$，即cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴sin$α=±\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$±\frac{4}{5}$，tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$±\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解题的关键，属于基础题．