Question

19．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）求函数f（x）的对称中心及在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的取值范围；
（2）若△ABC为非直角三角形，a，b，c分别为A，B，C所对的边，f（A）=-$\frac{1}{2}$，b=1，S_△ABC=2，求$\frac{a+b}{sinA+sinB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的余弦公式展开，结合二倍角公式和辅助角公式进行化简，则函数f（x）的对称中心及在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的取值范围可求；
（2）由f（A）=-$\frac{1}{2}$，结合（1）求出A=$\frac{π}{4}$，再由三角形的面积求出c，代入余弦定理求得a，则$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$\frac{a}{sinA}$可求．

解答 解：（1）f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=$（cos\frac{π}{3}cosx-sin\frac{π}{3}sinx）（cos\frac{π}{3}cosx+sin\frac{π}{3}sinx）$$-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$（\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx）（\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}co{s}^{2}x-\frac{3}{4}si{n}^{2}x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）-\frac{1}{2}si{n}^{2}x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{2}•\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$-\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）$
=$-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
由$2x-\frac{π}{4}=kπ$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，k∈Z$．
∴函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，0$），k∈Z．
∵-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，∴$-\frac{π}{2}≤2x≤\frac{π}{2}$，则$-\frac{3π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤0$，
则f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的取值范围为[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
（2）由f（A）=-$\frac{1}{2}$，得$-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2A-\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
∴$sin（2A-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$-\frac{π}{4}＜2A-\frac{π}{4}＜\frac{7π}{4}$，
∴$2A-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$2A-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
则A=$\frac{π}{4}$或A=$\frac{π}{2}$．
又△ABC为非直角三角形，∴A=$\frac{π}{4}$．
∵b=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}c•sin\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}c=2$，得$c=4\sqrt{2}$．
∴${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc•cosA=1+32-8\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=25．
∴a=5．
则$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$\frac{a}{sinA}=\frac{5}{sin\frac{π}{4}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5\sqrt{2}$．

点评 本题给出三角函数表达式，求函数的对称中心及值域，考查了三角形的解法，属于中档题．