题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）因为
所以要证
平面
，即证
平面，转证
（2）以点
为坐标原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.分别求出平面
与平面
的法向量，代入公式，即可得到二面角
的余弦值.
（1）证明：取
的中点
，连接
，所以
.
因为
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，且
.又
，
，
所以
，
所以
，所以
.
又因为
，
，所以平面.
又因为，所以平面.
（2）由（1）知平面，过点作
交
于点
，
故以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则![](https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/05/17/08/809b3df1/SYS201905170808315704382653_DA/SYS201905170808315704382653_DA.037.png"){kind=small}
,
，
，
，
所以
，
，
.
，
设平面的法向量为
，
由
，得
，
取
，得平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
，
由
，得
，
取
，得平面的一个法向量为
，
所以
.
因为二面角是一个锐二面角，所以余弦值为.
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