Question

16．已知正三角形的外接圆的圆心位于该正三角形的高的三等分点，且外接圆半径的长等于高的三分之二，由此类比，棱长为a的正四面体的外接球的半径的长为$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．

Answer 1

分析 平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．

解答 解：类比可得：正四面体的外接球的球心位于该正四面体的高的四等分点，
且外接球半径的长等于高的四分之三，
又可求棱长为a的正四面体的高为$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
所以棱长为a的正四面体的外接球的半径的长为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$a

点评 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．