题目内容

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC= $数学公式$ ，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为PB的中点，试求异面直线AN和BC所成的角的余弦值．
（Ⅲ）试问：在侧棱PB上是否存在一点Q，使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比V_PDCQ：V_QACB=7：2？若存在，请求PQ的长；若不存在，请说明理由．

证明：（Ⅰ）依题意知PA=1，PD= $\text{[math]}$
∴AD⊥AB，
又CD∥AB
∴CD⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥平面PAD（4分）

（Ⅱ）如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，
其中C，G分别为所在棱的中点，则易得AM∥DF，DG∥CB，
所以∠FDG就是异面直线AM和BC所成的角（6分）
连接FG，在△GBE中，GE= $\text{[math]}$
在△GEF中，FG= $\text{[math]}$
在△FDG中，DG=GE= $\text{[math]}$ ，
由余弦定理可得：
cos∠FDG= $\text{[math]}$ （8分）
所以异面直线AM和BC所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．（9分）

（Ⅲ）解：假设在侧棱PB上存在一点Q，满足条件
∵V_PDCQA：V_QACB=7：2
∴ $\text{[math]}$ （11分）
又由∠PAD=∠DAB=90°知PA⊥平面ABCD，又
$\text{[math]}$ ，S_△ABC=1．
设Q到平面ABCD的距离为h，则
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （12分）
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
故PQ= $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）由CD⊥AD和平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，根据面面垂直的性质定理证明；
（Ⅱ）如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，则有AM∥DF，DG∥CB，可得到∠FDG就是异面直线AM和BC所成的角，再在△GBE中，求得GE，在△GEF中，求得FG，在△FDG中，求得DG，利用由余弦定理求解．
（Ⅲ）假设在侧棱PB上存在一点Q，满足条件V_PDCQA：V_QACB=7：2，转化为 $\text{[math]}$ ，再由相似性求解．
点评：本题主要考查面面垂直的性质定理，用余弦定理求解异面直线所成角和通过相似性来求解线段的长度等，培养学生转化化归的能力．