题目内容

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象关于直线x= $数学公式$ 对称，它的最小正周期为π，则函数f（x）图象的一个对称中心是

A.
（ $数学公式$ ，0）
B.
（ $数学公式$ ，0）
C.
（ $数学公式$ ，0）
D.
（- $数学公式$ ，0）

B
分析：由周期求出ω=2，再由图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称，求得φ= $\text{[math]}$ ．得到函数f（x）=Asin（2x+ $\text{[math]}$ ），令2x+ $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，求得x= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，从而得到对称中心的坐标，进而求得图象的一个对称中心．
解答：由题意可得 $\text{[math]}$ =π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．
再由函数图象关于直线x= $\text{[math]}$ 对称，故f（ $\text{[math]}$ ）=Asin（ $\text{[math]}$ +φ）=±A，故可取φ=- $\text{[math]}$ ．
故函数f（x）=Asin（2x- $\text{[math]}$ ），令2x- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，
可得 x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数的对称中心为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，0），k∈z．
故函数f（x）图象的一个对称中心是（ $\text{[math]}$ ，0），
故选B．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．