题目内容

求sin20°cos50°+sin²20°+sin²40°的值．

解：原式= $\text{[math]}$ （1-cos40°）+ $\text{[math]}$ （1+cos100°）+sin20°cos50°，
=1+ $\text{[math]}$ （cos100°-cos40°）+ $\text{[math]}$ （sin70°-sin30°），
= $\text{[math]}$ -sin70°sin30°+ $\text{[math]}$ sin70°，
= $\text{[math]}$ ．
分析：利用二倍角公式化简，降次升角，然后利用和差化积和积化和差公式，化简即可求出表达式的值．
点评：本题是基础题，考查三角函数的和差化积与积化和差公式，二倍角公式的应用，考查计算能力，这是一道好题，具有推广价值．

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求下列各式的值
（1）(cos

；
（2）cos200°cos80°+cos110°cos10°=

；
（3）tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=

；
（5）sin20°sin40°sin80°=

；
（6）cos20°+cos100°+cos140°=

；
（7）（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）=

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=

代入③得 sinA+subB=2sin

．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin

；
（Ⅱ）求值：sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

①若α为第二象限角，化简cosα

2sin10°-cos20°

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cocs．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
（1）请尝试求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
（2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cocs．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
（1）请尝试求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
（2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．